Что такое куб: определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).
Содержание скрыть
- Определение куба
- Свойства куба
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Диагональ
- Диагональ грани
- Площадь полной поверхности
- Периметр ребер
- Объем
- Радиус описанного вокруг шара
- Радиус вписанного шара
Свойство 1
Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:
Свойство 2
Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.
к содержанию ↑
Свойство 3
Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.
Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.
Формулы для куба
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:
Диагональ
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.
Диагональ грани
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.
Периметр ребер
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.
Объем
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.
Радиус описанного вокруг шара
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.
Радиус вписанного шара
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.
Публикации по теме:
- Нахождение площади квадрата: формула и примеры
- Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
- Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
- Нахождение площади эллипса: формула и пример
- Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
- Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
- Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
- Нахождение длины окружности: формула и задачи
- Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
- Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
- Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
- Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
- Нахождение радиуса круга: формула и примеры
- Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
- Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
- Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
- Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
- Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
- Геометрическая фигура: треугольник
- Признаки равенства треугольников
- Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
- Определение и свойства медианы треугольника
- Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
- Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
- Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
- Свойства высоты прямоугольного треугольника
- Свойства высоты равностороннего треугольника
- Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
- Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
- Что такое окружность: определение, свойства, формулы
- Что такое круг: определение, свойства, формулы
- Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
- Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
- Свойства прямоугольной трапеции
- Нахождение высоты трапеции: формулы и примеры задач
- Что такое средняя линия треугольника
- Что такое средняя линия трапеции
- Что такое средняя линия четырехугольника
- Нахождение объема шарового сегмента
- Нахождение площади шарового сектора
- Нахождение объема шарового сектора
- Нахождение площади поверхности усеченного конуса: формулы
- Нахождение объема усеченного конуса
- Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения
- Что такое параллелепипед: определение, элементы, виды, свойства
- Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения
- Основные свойства призмы
Куб. Формулы, признаки и свойства куба
Куб (гексаедр) — это трехмерная фигура, которая состоит из шести динаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом. Куб является правильным многогранником, у которого грани образованы из квадратов. Также кубом можно назвать прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Определение. Грань куба — это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата.- куб имеет шесть граней;
— каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная шестой грани;
— грани имеют одинаковую площадь, которую можно найти, используя формулы для вычисления площади квадрата.
Определение. Ребро куба — это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.- куб имеет двенадцать ребер;- каждый конец ребра соединен с двумя соседними ребрами под прямым углом;- ребра куба имеют одинаковую длину.
Определение. Вершина куба — это самая отдаленная от центра куба точка, которая лежит на пересечения трех граней куба.
— куб имеет восемь вершин;- каждая вершина образована только тремя гранями и тремя ребрами.Определение. Центр грани куба (O1) — это равноудалена точка от всех ребер грани куба.Определение. Центр куба (O) — это равноудалена точка от всех граней куба.
Определение. Ось куба ( i ) — это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.
— куб имеет три оси;- оси куба взаимно перпендикулярны.
Определение. Диагональ куба ( d 1) — отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.
— куб имеет четыре диагонали;- диагонали куба пересекаются и делятся пополам в центре куба;- диагонали куба имеют одинаковую длину.Формула. Диагональ куба d 1 через длину ребра a :
Определение. Диагональ грани куба ( d 2) -отрезок, который соединяет противоположные углы грани куба и проходит через центр грани куба.
Формула. Диагональ грани d 2 через длину ребра a :Определение. Объём куба — это совокупность всех точек в пространстве, ограниченные гранями куба.Формула. Объём куба через длину ребра a :Формула. Объём куба через длину диагонали куба d 1:
V = d 1 3 3√ 3 Определение. Площадь поверхности куба — это совокупность плоскостей всех граней.Формула. Площадь поверхности куба через длину ребра a :Определение. Периметр куба — это совокупность длин всех ребер куба.Формула. Периметр куба P через длину ребра a :
Определение. Сферой вписанной в куб называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.
— все шесть граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сферы;- радиус вписанной сферы равен половине длины ребра a .Формула. Радиус вписанной сферы r через длину ребра a :
r = a 2 Формула. Объема вписанной сферы V через длину ребра a :
V = π a 3 6 Определение. Сферой описанной вокруг куба называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами куба.
— радиус описанной сферы равен половине длины диагонали ( d 1) куба.Формула. Радиус описанной сферы R через длину ребра a :
R = a √ 3 2 Формула. Объема сферы описанной вокруг куба V через длину ребра a :
к содержанию ↑V = π a 3 √ 3 2 Координаты вершин куба
1. Координаты вершин куба со стороной a и вершиной D в начале декартовой системы координат так, что ребра этой вершины лежат на осях координат:
A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).2. Координаты вершин куба с длиной стороны 2 a , у которого центр куба находится в начале декартовой системы координат так, что ребра куба параллельны осям координат:
Мнение экспертаМорозов Андрей ВладиславовичA( a , — a , — a ), B( a , a , — a ), C(- a , a , — a ), D(- a , — a , — a ),
E( a , — a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , — a , a ).Определение. Единичный куб — это куб, у которого длина ребер равна единице.
к содержанию ↑Пересечение куба плоскостью
1. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр куба и центры двух противоположных граней, то в сечении будет квадрат, длина стороны которого будет равна длине ребра куба. Эта плоскость делит куб два равных прямоугольных параллелепипеда.
2. Если пересечь куб с ребром a плоскостью, проходящей через центр куба и два параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник со сторонами a и a √ 2 , площадью сечения a 2 √ 2 . Эта плоскость делит куб две равные призмы.
3. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр и середины шести граней, то в сечении будет правильный шестиугольник со стороной a √ 2 /2, площадью сечения a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна из диагоналей (FC) каждой грани, что пересекаются, перпендикулярна стороне шестиугольника.
4. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через три вершины куба, то в сечении будет правильный треугольник со стороной a √ 2 , площадью сечения a 2 √ 3 /2 и объемом большей части — 5 a 3 /6 и меньшей — a 3 /6. Одна из диагоналей куба (EC) перпендикулярна к плоскости сечения и проходит через центр треугольника (M) и делится плоскостью в отношении MC:EМ = 2:1.
Следующая
